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Apéndice
Subálgebras maximales de álgebras de
Lie simples
Sea G un grupo de Lie simple, conexo y simplemente conexo sobre C de rango rg G = n y sea M
un subgrupo propio no trivial reductivo maximal de G. En este apéndice probaremos la desigualdad
dim G > dim M + rg G,
(A.1)
basándonos en la clasificación de las subálgebras maximales de las álgebras de Lie simples dada por
Dynkin en [D1, D2], ya que basta ver que se verifica
dim g > dim m + rg g,
(A.2)
donde g y m son las álgebras de Lie correspondientes a G y M. Notar que por [Bk, Cor. VIII.10.1]
toda subálgebra maximal de un álgebra de Lie semisimple es parabólica o reductiva.
Recordemos que esta desigualdad es crucial para la demostración del Teorema 4.2.23. Como en
toda esta tesis notaremos g como el álgebra de Lie de G, Φ su sistema de raíces y Π como el conjunto
de raíces simples.
Definición A.0.1. Una subálgebra ˜g de g se dice regular si tiene una base que consiste de
elementos de alguna subálgebra de Cartan h de g y de vectores de raíces del álgebra g relativos a h.
Recordar que para cada subálgebra de Cartan h de g existe una descomposición canónica
g = h + ∑ α∈Φ
g α ,
donde g α es el espacio asociado a la raíz α ∈ h ∗ . Si ˜g es una subálgebra regular de g, por definición
existe una subálgebra de Cartan h tal que
˜g = ˜h + ∑ α∈˜Φ
g α ,
donde ˜h ⊆ h y ˜Φ ⊆ Φ.
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