INTRO FISICA MODERNA FULL.pdf - Cosmofisica

104En sus límites asintóticos,22uZe=h βρ0 2( l + 1)2d U ⎡ l− 12 ⎢ +2dρ⎣ ρ2d Uρ → ∞ se tiene la ecuación: = U ( ρ)2dρU= A⋅eρ → 0 el término centrífugo dominaU+ B ⋅ eρ0⎤−ρ⎥U⎦( ρ ) = 0con solución:−ρρ( ρ)(para que no diverja B=0)2d U2dρ= C ⋅ + D ⋅ ρConsiderando una solución de la forma:( l 1)⎡ l +− ⎢ 2⎣ ρ⎤⎥U⎦( ρ) = 0l+1−l( ρ)ρ(para que no diverja D=0)U ( ρ)1= ρl+e− ρ G( ρ)La ecuación para G es:[ ρ − 2( l + 1) ] 0ρ G´´ + 2( l + 1−ρ)G´+0G =GG'( ρ)G''( ρ)==∞∑aii=0∞∑iaii=1∞( ρ) = i( i −1)aReemplazando en la ecuación anterior se encuentra la relación de recurrencia:Para alto iDesarrollando en serie la funcióne2ρ∑i=2iρρi−1iρ( i + l + 1) − ρ20i−2a i i( )( ) a+ 1=i + 2l+ 2 i + 1a(2ρ)(2ρ)= 1++1! 2!i 2 +1 =a2ii(2ρ)+ ......i!ii+1(2ρ)+ + ....( i + 1)!Se ve que los términos consecutivos tienen un mismo comportamiento que esta función porlo que hará que la solución diverja cuando ρ → ∞ . Por tanto, es necesario que esta serie secorte y tan solo sea un polinomio.Para queansea el último coeficiente distinto de cero yn+ 1a sea cero es necesario que:2(i + l + 1) − ρ0= 0