INTRO FISICA MODERNA FULL.pdf - Cosmofisica

90Planteamos una solución generalφ2−2( ) ( )1 ξξ = Η ξ e en este caso ( ξ )φ = B e2−1 ξ2Η resuelve la ecuación.2d Η dΗ− 2ξ+2dξdξ( β −1) Η = 0→ Η' ' −2ξΗ ' + ( β −1) Η = 0Consideremos una solución de tipo serie:∞∑n=2∞∑n=0nΗΗ'( ξ )Η''( ξ )==∞∑an=0∞∑n=1∞( ξ ) = n( n −1)a∑nn=2∞nξnanξn−1nξn−2n−2n−1n( n −1) a ξ − 2ξna ξ + ( β −1) a ξ = 0n∑n=1n∞∑n=0∞∞n+2 ∑ nn=n=1n=0nnn( n 2)( n + 1) a ξ − 2 na ξ + ( β −1) a ξ 0+ ∑( n 2)( n + 1) a2− 2na+ ( β −1) a = 0+n+ nnn2n− β + 1a n 2= a( n + 2)( n + 1)+ n→relación de recurrenciaSe tiene dos familias de soluciones (unas de potencia pares y otras impares) pero seriesinfinitas.an+2 2n2Si se toma: = = (para n grandes).2n nanSi tomamos el desarrollo en serie de:eξ24 6n2 ξ ξ ξ ξ= 1+ξ + + + ... + +2! 3!n n( )!( + 1! )22n+2+ ...Relacionando dos coeficientes contiguos de este desarrollo para n grande se tiene:1n( + )21n( )21 !=!n( )2! 2=n n( + 1)( )!nse comportan como ( ξ )22(igual que el anterior), de modo que para ξ → ∞ las funciones He2ξξΗ → aC1+ a1C2de manera que:ξe2