INTRO FISICA MODERNA FULL.pdf - Cosmofisica

159Electrones en potenciales periódicosComo se mencionó anteriormente, los cristales están formados por celdas cristalinasidénticas. Los átomos están ubicados en posiciones periódicas que definen esta celda.r r rEl conjunto de vectores a, b,c que define todos los puntos de la red mediante la relaciónr r r rR = n1 a + n2b+ n3csiendo n1 , n2, n3enteros, se los llama vectores generadores y unparalelepípedo formado por ellos y que su traslación genera todo el cristal, una celdaunitaria. La celda unitaria de menor volumen se la conoce como celda primitiva. Se puededemostrar que existen 14 formas de acomodar los puntos en las redes cristalinas de talmodo que todos los puntos de dichas redes tengan el mismo medio circundante. Las 14redes (llamadas de Bravais) se asocian en 7 sistemas cristalinos: cúbico, hexagonal,tetragonal, trigonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico.Un electrón en un cristal puede modelarse como una partícula en un potencial periódico,cada celda del cristal será equivalente para el electrón.Teorema de BlochSi se considera al sistema cuántico como una partícula en presencia de un potencialperiódico, entonces la ecuación de Schrödinger será:Vrrr( r ) = V ( r + R)→2h 2− ∇ ψ + V2m() r ψ = Eψperiódico en el parámetro de la red R r ,entonces, la función de onda tendrá la forma de ondas planas moduladas, es decir:rrr−ik⋅rr r rψk( ) = e μk( ) → por μky μk( ) = μk( + R).Note que en este caso:ψ ∗ψ → es la misma en cada celda unitaria.Lo que indica que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón es la misma paracada una de las celdas unitaria.El buen comportamiento de la función de onda y el hecho de que el valor de k sea real,genera una estructura de bandas para los niveles energéticos electrónicos permitidos, asípor ejemplo, la siguiente figura representa una ecuación trascendental donde los valorespermitidos de k(E) son aquellos en donde la curva graficada solo toma valores entre -1 y +1.