Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

No caso do escoamento de um fluido suposto incompressível e isotérmico, a densidade ρ
e a temperatura T são constantes e as equações (2.1) e (2.2) não são mais necessárias. O
sistema passa a ser formado apenas pelas equações de Navier-Stokes e da continuidade.
2.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A equação da continuidade expressa, para um determinado volume de controle,
o balanço entre a variação da densidade no interior do volume e os fluxos de massa
entrando e saindo do mesmo por unidade de tempo. A equação geral da continuidade
para escoamento compressível não-permanente de um fluido homogêneo é dada por:
∂ρ
∂t
+ ∂ρu
∂x
+ ∂ρv
∂y
+ ∂ρw
∂z
= 0 . (2.3)
Expandindo as derivadas de produto e rearranjando os termos chega-se a:
∂ρ
∂t +
u ∂ρ
∂ρ ∂ρ
+ v + w
∂x ∂y ∂z
V ·
∂u ∂v ∂w
+ ρ + +
∂x ∂y ∂z
∇ρ
ρ( ∇· V )
Usando notação vetorial 1 a equação geral da continuidade resulta:
= 0 .
∂ρ
∂t + V · ∇ρ + ρ( ∇ · V ) = 0 . (2.4)
A primeira parcela da equação (2.4) é chamada contribuição local, a segunda,
indicada por alguns autores por dρ
, é dita contribuição convectiva e o divergente da
dt
velocidade ( ∇ · V ) na terceira parcela representa a variação volumétrica instantânea. É
comum encontrar a primeira e a segunda parcela da equação representadas por um só
termo: a derivada total ou substantiva da densidade ( Dρ
Dt ).
1 ∇ = operador vetorial = i ∂
∂x + j ∂
∂y + k ∂
∂z
∇a = gradiente do escalar a = vetor = ∂a
∂x i + ∂a
∂y j + ∂a
∂z k
∇ · b = divergente do vetor b = escalar = ∂bx
∂x
∇ × b = rotacional do vetor b = vetor = ( ∂w
∂y
+ ∂by
∂y
+ ∂bz
∂z
∂v − ∂z )i + ( ∂u
∂z
∂w − ∂x )j + ( ∂v ∂u
∂x − ∂y )k 4