Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

Seja ri(ujn) o valor do resíduo para a equação i calculado com os valores estimados
uj da iteração n. Se a solução fosse exata, o resíduo ri seria nulo para todas as equações.
O método de Newton-Raphson calcula uma série de correções ∆uj tais que:
∂ri
j=1
∂uj
un
∆uj = −ri para i = 1, 2, ..., N. (6.10)
∂ri
A equação (6.10) representa N equações simultâneas com N incógnitas. O termo ∂uj un
é o valor da derivada calculado com as estimativas uj da iteração n. A matriz quadrada
formada por esses termos é o Jacobiano [Jn] na iteração n. Graficamente o método pode
ser representado como na figura 6.8.
FIGURA 6.8 – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON
Para problemas lineares,
∂ri
∂uj un
seria uma constante independente de uj e o ajuste
calculado por este processo conduziria à solução exata em uma iteração, partindo de
qualquer valor uj estimado. Para problemas não-lineares, o método reduz o erro a cada
iteração. A redução do erro não é garantida mas a experiência mostra que, se a estimativa
inicial for suficientemente próxima da solução exata, a redução do erro ocorre e então o
método converge (KING,1993).
Nos casos em que o método de Newton diverge ou oscila em torno da solução, a
técnica da relaxação pode ser eficaz e até mesmo aumentar a velocidade de convergência.
Na relaxação, a correção entre iterações é aumentada ou diminuída por um fator ωn > 0
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