Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

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Para superar essas limitações, foram propostos modelos onde um parâmetro carac- terístico da turbulência é determinado através de uma equação diferencial de transporte. A energia cinética turbulenta média por unidade de massa: k = 1 2 (u′2 + v ′2 + w ′2 ) é o parâmetro normalmente utilizado, pois caracteriza a intensidade das flutuações e representa a escala de velocidades das mesmas. Aqui, é preciso salientar que os efeitos de transporte sobre a escala de comprimento — por exemplo ℓ — são igualmente importantes. Uma fórmula algébrica precisa para ℓ raramente pode ser determinada exceto para escoamentos unidirecionais em canais. Todavia, nesses escoamentos, o modelo de comprimento de mistura fornece resultados bons a um custo matemático muito menor. Por isso, modelos de uma só equação diferencial não são adotados com freqüência porque apresentam um ganho pequeno de precisão e de generalidade a um custo computacional elevado. Modelo de Prandtl do transporte da energia cinética turbulenta k de ℓ ∂u ∂y Em 1945, Prandtl sugeriu para a escala de velocidade da turbulência, no lugar de seu modelo do comprimento de mistura, a raiz quadrada da energia cinética turbulenta k, resultando a seguinte equação para a viscosidade turbulenta: 28 µt = ρ ℓ √ k . (3.21) Nessa equação k é determinado através de uma equação diferencial e ℓ através de uma fórmula algébrica (LAUNDER; SPALDING, 1972). É interessante verificar que relações entre a viscosidade cinemática ν, a taxa de dissipação de energia por unidade de massa ε e as escalas de comprimento ℓk, de velocidade uk e de tempo tk podem ser obtidas através de uma análise dimensional na escala dos
menores vórtices, como apresentado nos parágrafos seguintes. As equações 3.21 e 3.27 estão relacionadas com esse conceito. Em escalas de comprimento muito pequeno, a viscosidade molecular pode ser efetiva em reduzir as flutuações de velocidade. A geração de flutuações de pequena escala deve-se aos termos não-lineares das equações de Navier-Stokes; os termos viscosos impe- dem a geração de escalas de movimento infinitamente pequenas através da dissipação da energia de pequena escala em calor. Seria razoável esperar que em números de Reynolds elevados, a magnitude relativa da viscosidade seria tão pequena que os efeitos viscosos no escoamento tenderiam a desaparecer. Os termos não-lineares nas equações de Navier- Stokes agem contra essa tendência gerando movimentos em escalas pequenas o suficiente para serem afetadas pela viscosidade. A menor escala de movimento automaticamente ajusta-se ao valor da viscosidade. Parece não haver modo de eliminar a viscosidade: assim que a escala do campo de escoamento torna-se tão grande que os efeitos viscosos seriam possivelmente negligenciados, o escoamento cria movimentos de pequena escala, mantendo assim os efeitos viscosos (em particular as taxas de dissipação) em patamares finitos (TENNEKES; LUMLEY, 1972). Como movimentos de pequena escala tendem a possuir escalas de tempo pequenas, pode-se assumir que esses movimento são estatisticamente independentes da relati- vamente lenta turbulência de grande escala e do escoamento de grande escala. Se essa hipótese faz sentido, o movimento de pequena escala deve depender apenas da taxa em que ele recebe energia do escoamento de grande escala e da viscosidade cinemática. É razoável assumir que a taxa de transferência (fornecimento) de energia é igual à taxa de dissipação de energia, porque a taxa líquida de variação da energia de pequena escala é relacionada à escala de tempo do escoamento como um todo. A taxa líquida de variação da energia, portanto, deve ser pequena comparada à taxa em que a energia é dissipada (TENNEKES; LUMLEY, 1972). 29
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