Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

sendo a a cota z do fundo do canal e h a profundidade do escoamento medida na direção
vertical z. As integrais da equação (4.1) podem ser avaliadas através da regra de Leibnitz
para integração de derivadas:
a+h
a
a+h
a
∂u ∂
dz =
∂x ∂x
∂v ∂
dz =
∂y ∂y
a+h
a
a+h
a
44
∂a
u dz + u| a ∂x − u| ∂(a + h)
a+h ;
∂x
(4.2)
∂a
v dz + v| a ∂y − v| ∂(a + h)
a+h ,
∂y
(4.3)
onde é necessário aplicar-se condições de contorno adequadas, de modo a se evitar
incógnitas específicas dos contornos da superfície (a + h) e do fundo (a).
ou seja:
A superfície do fundo SF pode ser definida pelos pontos com cota igual a a(x, y, t),
SF (x, y, z, t) ≡ z − a(x, y, t) = 0 . (4.4)
De modo similar, pode-se definir a superfície livre SL através dos pontos com cota igual
a (a + h)(x, y, t):
SL(x, y, z, t) ≡ z − (a + h)(x, y, t) = 0 . (4.5)
A superfície livre e o fundo são superfícies permanentes, isto é, ambas podem sofrer
alterações de posição localmente, mas as superfícies como um todo tem velocidade zero,
pois permanecem delimitando os limites superior e inferior de um volume de partículas
de água em escoamento. Este modelo conceitual das condições de contorno cinemáticas
da superfície livre e do fundo podem ser modelados matematicamente como se mostra a
seguir. Para tal, utiliza-se como exemplo (ROSMAN, 1997):
que em uma descrição Euleriana torna-se:
dSL
dt
= ∂SL
∂t
dSL
dt
+ u∂SL
∂x
= 0 , (4.6)
+ v ∂SL
∂y
+ w ∂SL
∂z
= 0 . (4.7)