Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

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tais termos, de modo que o número de equações fosse igual ao de incógnitas. Os pro- cedimentos para representação apropriada das tensões de Reynolds são conhecidos como modelagem da turbulência e são apresentados no item 3.4. A principal limitação da média de Reynolds é que tal operação só tem sentido para escoamentos estatisticamente estacionários, isto é, escoamentos com médias, variâncias e outras propriedades constantes, o que resulta em equações independentes do tempo (SCHLICHTING, 1968; TENNEKES; LUMLEY, 1972; BRADSHAW, 1981). Conseqüen- temente, as equações de Reynolds são inadequadas para modelar a grande maioria dos escoamentos geofísicos. Por isso, na prática da engenharia, o requerimento da estacionari- edade é relaxado e equações em regime não permanente são obtidas via médias temporais pelo método Krilov-Bogoliukov-Mitropolski (NIHOUL 7 , apud ROSMAN, 1989). Isto é, aplica-se uma média temporal relaxada, com base num idealizado período intermediário T , suficientemente pequeno para deixar os fenômenos de grande escala que se deseja modelar passarem quase intactos, mas suficientemente grande para idealmente eliminar os rápidos processo flutuantes de pequena escala (WHITE 8 , apud ROSMAN, 1989; RODI, 1981). Dessa forma, a equação (3.4) modifica-se para: u (xi, t) = 1 T 16 t+T/2 u (xi, t t−T/2 ′ ) dt ′ , (3.9) onde usamos a mesma sobrebarra usada no caso da média de Reynolds, para indicar o paralelismo das duas operações. seria então: A equação do movimento para o escoamento “médio” via média temporal relaxada ∂ui ∂t ∂ + (ui uj) = F − ∂xj ∂ ′ u i u ∂xj ′ j . (3.10) 7NIHOUL, J. C. J. Modeling of marine systems, ed. J. C. J. Nihoul, Elsevier Scientific Publishing Company, 1975. 8WHITE, F. M. Viscous fluid flow. McGraw Hill, 1974.
Entretanto, tal média temporal relaxada tem sérias inconsistências quando apli- cada à maioria dos escoamentos geofísicos. Os postulados de Reynolds, expressões (3.5), que são verdadeiros para escoamentos estatisticamente estacionários (“escoamentos per- manentes”), são também assumidos como verdadeiros para o caso da média relaxada no tempo. No entanto, se por meio da equação (3.4) as variáveis médias são independentes do tempo, da média temporal relaxada (3.9) resultam variáveis com dependência temporal. Conseqüentemente, a validade dos postulados de Reynolds nesse caso é no máximo uma aproximação. Conforme indicado por ALDAMA (1985), para podermos desprezar os termos cruzados envolvendo a média de produtos das partes “média” e “flutuante” de uma variável turbulenta, por exemplo ui u ′ j , seria necessário que não houvesse interação entre as escalas características representativas das duas partes. Isso significa que tal escoamento teria um espectro com dois picos distintos e separados por uma região de pouca ou nenhuma energia. Um pico seria característico do escoamento de grande escala ou “médio” e o outro, do escoamento de pequena escala ou “flutuações”. No vazio entre os dois picos encontrar-se-ia a escala de separação, ou seja, o idealizado período intermediário T , que aparece na média temporal relaxada (3.9). Sabe-se muito bem, no entanto, que os escoamentos geofísicos em sua quase tota- lidade apresentam espectros cheios, isto é, não há múltiplos picos distintos nem tampouco vazios pronunciados. Isso mostra claramente que assumir a validade dos postulados de Reynolds no caso da média temporal relaxada não passa de grosseira aproximação, forçada por necessidades práticas. E, a bem da verdade, as equações do movimento obtidas por tal método deveriam ser escritas como (ROSMAN, 1989): ∂ui ∂t ∂ + (ui uj) = F − ∂xj ∂ ui uj − ui uj + ui u ∂xj ′ j + u′ i uj + u ′ i u′ j . (3.11) Portanto, no caso da média temporal relaxada, a modelação da turbulência en- volve muito mais do que apenas correlações de componentes de pequena escala da ve- locidade global. Enquanto na equação de Reynolds (3.8), as tensões turbulentas a se- 17
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