Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

maior precisão. Para a solução das equações de Navier-Stokes, a quadratura com três
pontos é suficiente (CHAUDHRY, 1993).
Quando a quadratura de três pontos é utilizada em um elemento bidimensional
quadrangular, a função é avaliada em nove pontos e o valor da função em cada ponto é
multiplicado pelo produto de dois fatores de ponderação, um de cada direção. A integração
pode ser assim expressa:
Ae
f(ξ, η) dξ dη ≈ Ae
77
k
wi f(ξi, ηi) , (6.12)
onde Ae =área do elemento, f = função integrada, k = número de pontos da integração
numérica, wi = fator de ponderação do ponto de integração i e (ξi, ηi) = coordenadas
naturais do ponto i. As figuras 6.9 e 6.10 apresentam as coordenadas locais e os corres-
pondentes fatores de ponderação dos pontos de integração Gaussiana de três pontos para
elementos triangulares e retangulares.
FIGURA 6.9 – QUADRATURA DE GAUSS COM SETE PONTOS PARA ELEMENTO TRIANGULAR
FONTE: FROEHLICH, (2002)
i=1
Ponto Coordenadas Fator de
ξ η ponderação wi
1 0,33333333 0,33333333 0,22500000
2 0,05971587 0,47014206 0,13239415
3 0,47014206 0,05971587 0,13239415
4 0,47014206 0,47014206 0,13239415
5 0,79742698 0,10128651 0,12593918
6 0,10128651 0,79742698 0,12593918
7 0,10128651 0,10128651 0,12593918
Um esquema de integração numérica necessita ser suficientemente preciso para
assegurar a convergência da solução por elementos finitos. STRANG e FIX 5 sugerem que
a convergência ocorrerá se o método de integração numérica for preciso o suficiente para
computar exatamente a área do elemento (FROEHLICH, 2002).
5 STRANG, G.; FIX, G. J. An analysis of the finite element method. Englewoodcliffs, N. J.,
Prentice-Hall. 306 p. 1973.