Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

Procedendo-se a decomposição da equação (2.6) nas direções x, y e z e
substituindo-se a força de superfície P pelas suas componentes obtém-se:
∂u
∂u ∂u
ρ + u∂u + v + w = Fx −
∂t ∂x ∂y ∂z
∂p
∂x +
∂τxx
∂x
∂v
∂v ∂v
ρ + u∂v + v + w = Fy −
∂t ∂x ∂y ∂z
∂p
∂y +
∂τxy
∂x
∂w
∂w ∂w
ρ + u∂w + v + w = Fz −
∂t ∂x ∂y ∂z
∂p
∂z +
∂τxz
∂x
+ ∂τxy
∂y
+ ∂τyy
∂y
+ ∂τyz
∂y
7
∂τxz
+ ;
∂z
∂τyz
+ ; (2.10)
∂z
∂τzz
+ .
∂z
Inserindo-se as equações constitutivas (2.8) e (2.9) no lugar das tensões normais
e tangenciais, são obtidas as equações de Navier-Stokes para fluido compressível com
viscosidade variável:
ρ
ρ
ρ
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t
∂u ∂u
+ u∂u + v + w =Fx −
∂x ∂y ∂z
∂p
∂
+ µ 2
∂x ∂x
∂u 2
−
∂x 3 ∇ ·
V +
∂ ∂u ∂v
µ + +
∂y ∂y ∂x
∂
∂w ∂u
µ + ;
∂z ∂x ∂z
∂v ∂v
+ u∂v + v + w =Fy −
∂x ∂y ∂z
∂p
∂
+ µ 2
∂y ∂y
∂v 2
−
∂y 3 ∇ ·
V +
∂ ∂u ∂v
µ + +
∂x ∂y ∂x
∂
∂v ∂w
µ + ; (2.11)
∂z ∂z ∂y
∂w ∂w
+ u∂w + v + w =Fz −
∂x ∂y ∂z
∂p
∂
+ µ 2
∂z ∂z
∂w 2
−
∂z 3 ∇ ·
V +
∂ ∂v ∂w
µ + +
∂y ∂z ∂y
∂
∂w ∂u
µ + .
∂x ∂x ∂z
Em um escoamento incompressível, que corresponde ao caso estudado neste tra-
balho, o divergente da velocidade é nulo e as equações (2.11) podem ser escritas sem o
termo 2
3 ∇ · V . Se a viscosidade for considerada constante, o que geralmente ocorre em um
escoamento incompressível pois as variações da temperatura T são pequenas e a viscosi-
dade é basicamente apenas função da temperatura, as equações de Navier-Stokes podem