Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

valor das variáveis nos nós, como na equação (6.1). Pode-se escrever, então:
u ≈ ũ =
71
n
Ni ui , (6.5)
i=1
em que Ni são as funções de base apresentadas na seção 6.2, ui o valor das variáveis nos nós
e n o número de nós do elemento. Quando ũ é substituído na equação (6.4), é improvável
que a equação seja satisfeita exatamente, resultando portanto um erro residual ε:
L ũ − f = ε . (6.6)
O MRP é utilizado para determinar os n parâmetros desconhecidos ui da representação
funcional, em cada elemento, de modo que o erro ε seja tão pequeno quanto possível na
região da solução. Uma maneira de reduzir ε é formar uma média ponderada do erro
e fazê-la igual a zero quando considerada em todo o domínio do problema. A média
ponderada é dada por:
R
Wi ε dR =
R
Wi (L ũ − f) dR = 0 , (6.7)
onde R é o domínio do problema e Wi são funções de ponderação linearmente indepen-
dentes.
Há alguma flexibilidade na escolha das funções de ponderação dos resíduos. Elas
devem possuir a propriedade de abranger o espaço da solução, ou seja, todo ponto do
domínio das soluções deve ser atingível através da combinação linear das funções esco-
lhidas. Adicionalmente, elas devem ser mutuamente ortogonais (perpendiculares e inde-
pendentes). A equação (6.7) é a forma matemática de expressar a ortogonalidade entre o
espaço coberto pelas funções de ponderação Wi e o erro ε. Como as funções de ponderação
Wi abrangem todo o espaço da solução, a única função ortogonal a esse espaço é zero, ou
seja, ε = 0.