Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

Inserindo em (4.7) a equação da superfície livre (4.5), chega-se à condição de contorno
cinemática na superfície livre:
∂(a + h)
−
∂t − u| ∂(a + h)
a+h ∂x − v| ∂(a + h)
a+h ∂y + w| a+h = 0 , em z = (a+h)(x, y, t). (4.8)
Fazendo o mesmo desenvolvimento para a superfície do fundo, pode-se escrever a condição
de contorno cinemática na superfície do fundo:
− ∂a
∂t − u| ∂a
a ∂x − v| ∂a
a ∂y + w| a = 0 , em z = a(x, y, t). (4.9)
Inserindo as relações (4.2), (4.3), (4.8) e (4.9) em (4.1) obtém-se a forma final da
equação da continuidade integrada na vertical para escoamento incompressível:
∂h
∂t
+ h∂U
∂x
+ h∂V
∂y
∂h ∂h
+ U + V
∂x ∂y
onde U e V são as velocidades em x e y médias na vertical:
U(x, y, t) = 1
h
a+h
a
u(x, y, z, t) dz e V (x, y, t) = 1
h
4.3 SIMPLIFICAÇÃO PARA ÁGUAS RASAS
45
= 0 , (4.10)
a+h
a
v(x, y, z, t) dz . (4.11)
Escoamentos de grande escala, nos quais as escalas dos movimentos horizontais
são pelo menos 20 vezes maiores do que a profundidade 2 , podem ser considerados como
quase horizontais ou escoamentos em águas rasas 3 (ROSMAN, 2000). A conseqüência
prática de um corpo de água ser considerado raso na escala de um dado fenômeno é
2 Este é um número padrão da teoria de ondas. Por convenção, uma onda está em águas rasas sempre
que seu comprimento for 20 vezes maior que a profundidade da região de propagação.
3 Na realidade o conceito de águas rasas tem mais relação com o comprimento do fenômeno de interesse
do que com a geometria aparente do corpo de água. Uma baía, por exemplo, é um corpo de água raso
para correntes de maré; entretanto, pode ser um corpo de água profundo para escoamentos referentes a
ondas geradas por vento na baía.