Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

Fazendo ξ = t e G = 1/T se t − T/2 ≤ ξ ≤ t + T/2, senão G = 0, tem-se de volta
a promediação de Reynolds ou a temporal relaxada, dependendo da escala T do filtro
(ROSMAN, 1989).
Inúmeras funções filtro já foram investigadas, e para o caso de escoamentos turbu-
lentos parece inquestionável que filtros Gaussianos têm muitas vantagens sobre possíveis
outros. Conforme BEDFORD e DAKHOUL 32 , e ALDAMA (1985), citados por ROSMAN
(1989), pode-se definir filtro espaço-temporal Gaussiano como:
G(x1, x2, x3, t) = ( 6 1
)2
π λt
e [−6(t/λt)2 ]
3
1
38
e
λi
i=1
[−6(xi/λi) 2 ] , (3.36)
onde λi e λt são respectivamente as larguras espaciais e temporais do filtro Gaussiano, ou
em outras palavras, as escalas do filtro no espaço e no tempo.
Aplicando-se o teorema de Gauss, pode-se mostrar que a operação de filtragem
é comutativa com derivadas espaciais e temporais, se tivermos filtros Gaussianos perma-
nentes e homogêneos, isto é, com λi e λt constantes (ALDAMA e FINDIKAKIS 33 , apud
ROSMAN, 1989). Portanto, filtrando-se a equação de Navier-Stokes (3.6), obtém-se:
∂ui
∂t
∂
+ (ui uj) = F , (3.37)
∂xj
onde ui representa a componente de grande escala, ou resolvível, de ui. Note que agora as
sobrebarras indicam a operação de filtragem definida pela equação (3.34), com G definido
pela equação (3.36) e ξ ≡ (x1, x2, x3, t).
Usando o teorema da convolução e transformadas de Fourier e sem usar separação,
pode-se mostrar que, se λi e λt são pequenos em relação às escalas espaciais e temporais
dos grandes vórtices de escoamento “médio”, a seguinte expansão em série é correta
32 BEDFORD, K.; DAKHOUL, Y. Applying LES turbulence modeling to open channel flow, Proceedings,
1982 ASCE Hydr. Div. Specialty Conference, Jackson, Mississipi, 1982.
33 FINDIKAKIS, A. N. Finite element simulation of turbulente stratified flows, Ph. D. diss, Dept. of
Civil Engineering, Stanford University, 1980.