Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

Aplicando a regra de Leibnitz, a relação (4.14) e considerando nula a pressão
p| a+h (pressão atmosférica), o termo de pressão pode ser assim integrado ao longo da
profundidade:
1 ∂
ρ ∂x
a+h
a
a+h
− 1 ∂p ∂
∂a
dz = −1 p dz − p| a
ρ ∂x ρ ∂x a
∂x + p| ∂(a + h)
a+h ∂x
= −
(4.18)
1
a+h
∂
ρ g (a + h − z) dz − ρ g h
ρ ∂x a
∂a
∂x
(4.19)
∂(a + h)
= −g h .
∂x
(4.20)
Integrando o último termo da equação 4.15, tem-se:
a+h
a
∂a
τxx dz + τxx|
a
+ 1
∂
ρ ∂y
∂x − τxx|
a+h
a+h
a
τxy dz + τxy| a
∂a + h
+
∂x
∂a
∂y − τxy| a+h
48
∂a + h
+
∂y
+ 1
τxz|
a+h ) − τxz|
a . (4.21)
ρ
Para lidar com valores de tensões prescritas na superfície livre e no fundo aplicam-se
condições de contorno dinâmicas. Na superfície livre S, as tensões do vento τ S e as
tensões no fluido são iguais. Assim, tem-se na direção x, rearranjando os termos de
(4.21):
a+h
1 ∂
τxx dz +
ρ ∂x a
∂
a+h
τxy dz +
∂y a
+ 1
ρ (τxx|
∂a
a ∂x + τxy|
∂a
a ∂y − τxz|
∂a + h
a − τxx|
a+h ∂x
− τxy|
∂a + h
a+h ∂y + τxz|
a+h)
, (4.22)
−τ F x | ∇F |
τ S x | ∇S|
onde ∇F = (− ∂a ∂a , − ∂x ∂y , 1) é um vetor normal ao fundo, ∇S = (− ∂(a+h)
, − ∂x ∂(a+h)
, 1) é
∂y
um vetor normal à superfície livre, τ F e τ S são as tensões de atrito junto ao fundo e à
superfície livre.