Modelagem Física e Computacional de um Escoamento Fluvial

(ROSMAN 34 e ABBOTT; LARSEN 35 apud ROSMAN, 1989):
uiuj = uiuj + λ2 k
12
∂ui
∂xk
∂uj
∂xk
+ λ2 t
12
∂ui
∂t
39
∂uj
∂t + O (λ 4 k, λ 4 t , λ 2 k, λ 2 t ) · D.A.O. , (3.38)
onde D.A.O. significa derivadas de alta ordem. Em 1985, ALDAMA chegou a resultado
semelhante através da separação, isto é, chamando de u ′ i a componente de pequena escala
ou não resolvível de ui e de ui a componente de grande escala ou resolvível, escreve-se:
uiuj = ui uj + ui u ′ j + u′ i uj + u ′ i u′ j
. (3.39)
Contrastando com as promediações de Reynolds, temporal relaxada e estatística, não há
postulados como 3.5 para o caso da filtragem. Assim, os termos cruzados uiu ′ j
não são
nulos, e ui = ui. Entretanto, ALDAMA (1985) provou que a seguinte série é assintótica:
uiuj = uiuj + λ2 k
12
∂ui
∂xk
∂uj
∂xk
+ λ2 t
12
∂ui
∂t
∂uj
∂t + u′ i u′ j
, (3.40)
onde os termos de mais alta ordem estão embutidos em u ′ iu′ j . Analisando as equações
(3.38), (3.39) e (3.40), fica claro que os termos de filtragem, isto é, os termos envolvendo
λi e λt, trazem em si informação sobre as componentes de grande escala do escoamento e,
devido aos termos cruzados, também sobre a interação entre as componentes de grande e
de pequena escala. Esse é um resultado teórico muito poderoso, cuja discussão está além
dos objetivo deste texto.
Substituindo a expansão (3.40) acima na equação (3.37), obtém-se:
∂ui
∂t
∂
+ (ui uj) = F −
∂xj
∂
2 λk ∂xj 12
∂ui
∂xk
∂uj
∂xk
+ λ2 t
12
∂ui
∂t
∂uj
∂t + u′ iu′
j
. (3.41)
34 ROSMAN, P.C.C.,Modeling shallow water bodies via filtering techniques, Ph.D. thesis, Department
of Civil Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 1987.
35 ABBOTT, M.B. and LARSEN,J., Modelling circulation in depth-integrated flows. Part2: A reconciliation,
Journal of Hydraulic Research, IAHR 23(5), 1985.