Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik
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Entwicklungssatz im Hilbert-RaumDie ϕ ν (x) ∈ H <strong>für</strong> ν = 1, 2, . . . seien ein vollständiges Orthonormalsystem bzw. eine Basis in H,mit〈ν|µ〉 = 〈ϕ ν |ϕ µ 〉 = δ νµOrthonormalität.Dann lässt sich jedes beliebige Element ψ(x) ∈ H nach der Basis entwickeln:∞∑∫ψ(x) = ϕ ν (x)〈ϕ ν |ψ〉 mit 〈ϕ ν |ψ〉 = ϕ ∗ ν(x ′ )ψ(x ′ ) dτ ′ ,ν=1ν=1und man findet durch Einsetzen∞∑∫∫ [∑ ∞ψ(x) = ϕ ν (x) ϕ ∗ ν (x′ )ψ(x ′ ) dτ ′ =ν=1]ϕ ν (x)ϕ ∗ ν (x′ ) ψ(x ′ ) dτ ′ =mit der Deltafunktion δ(x) im Konfigurationsraum. Es muss also gelten:∞∑ϕ ν (x)ϕ ∗ ν (x′ ) = δ(x − x ′ ) Vollständigkeit.ν=1∫δ(x − x ′ )ψ(x ′ ) dτ ′
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