Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Beim Einsetzen der Feldoperatoren Â(r, t) und ˆπ(r, t) in den Energie-OperatorĤ =∫ˆD d 3 r = 1 2∫ [ε( ∂ Â∂t) 2+1µ (∇ × Â)2] d 3 r = 1 2∫ [1ε ˆ⃗π 2 (r, t) + 1 µ(∇ × Â(r, t) ) 2 ] d 3 rergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenc + j (q, t) und c j (q, t) die Form einer Summe ungekoppelter harmonischer Oszillatoren, die durchdie beiden Indizes j und q abgezählt werden,Ĥ =2∑ ∑j=1qhν j (q)(c + j (q, t)c j(q, t) + 1 )2 1 .Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hν j (q) ( n j (q) + 1 2)mit den Besetzungszahlenn j (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hν j (q) = v¯h|q| und mitdem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind.Der Energieoperator Ĥ besteht aus Summanden mit den Operatoren c+ c + 1 21 für die einzelnenPhotonen mit dem Photonenzahloperator ˆN = c + c und den Besetzungszahlen n, oder ausgeschriebenˆN =2∑ ∑c + j (q, t)c j(q, t) mit ˆN| . . .nj (q) . . .〉 =j=1 q2∑ ∑n j (q)| . . .n j (q) . . .〉.j=1 q