Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ˆ⃗π führen dann zu den Vertauschungsrelationenfür die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren c j (q, t) und c + j (q, t) für ein Photon der Polarisationj, der Wellenzahl |q| und der Energie hν j (q) = v¯h|q|[cj (q, t), c + j(q ′ , t) ] [= δ ′ jj ′δ qq ′1 ; cj (q, t), c j ′(q ′ , t) ] = 0 = [ c + j (q, t), c+ j(q ′ , t) ] . ′Aus den Vertauschungsrelationen der Operatoren c j (q, t) und c + j(q, t) ergeben sich bereits die Eigenschaftender Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren. Setzt man etwa für ein spezielles Photon den′Kommutator [c, c + ] = 1 fest, so lassen sich die Eigenwerte α und Eigenfunktionen |α〉 des selbstadjungiertenOperators c + c ausrechnen: Aus c + c|α〉 = α|α〉 findet man wegen cc + = c + c + 1c + cc|α〉 = cc + c|α〉 − c|α〉 = cα|α〉 − c|α〉 = (α − 1)c|α〉.Ist also α ein Eigenwert von c + c, so ist (α − 1) auch ein Eigenwert mit der nicht normierten Eigenfunktionc|α〉. Wendet man c n-mal an, so ist auch (α − n) ein Eigenwert zur Eigenfunktion c n |α〉,und man kann auf diese Weise immer kleinere Eigenwerte finden. Andererseits sind alle Eigenwertevon c + c positiv, denn mit 〈α|α〉 = 1 gilt α = 〈α|c + c|α〉 = 〈 c|α〉 ∣ ∣c ∣ ∣α 〉 ≥ 0. Dieser Widerspruch löst sichnur dann auf, wenn zu jedem Eigenwert α eine natürliche Zahl n ∈ N existiert mit der Eigenschaftc n |α〉 ≠ 0 aber c n+1 |α〉 = 0. Dann findet manc + cc n |α〉 = (α − n)c n |α〉 = c + c n+1 |α〉 = 0 und es ist α = n ∈ N mit c + c|n〉 = n|n〉.Die Operatoren c + und c erweisen sich somit als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.