Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

1.1 TeilchenzahlzuständeEine andere Darstellungsmöglichkeit, nämlich die der Teilchenzahlzustände, besteht darin, nur dieAnzahl der Teilchen n ν anzugeben, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand ψ ν (x) befinden.Dann ist ein N-Teilchen-Zustand |n 1 n 2 . . .〉 durch Angabe aller n ν vollständig beschrieben, und es gilt|n 1 n 2 . . .〉 =(N!) −1/2 ∞∏ ∑n ρ ! (±1) p {T P ψν1 (1) . . .ψ νN (N) } fürP ∈Sρ=1{ BosonenFermionen.Hier bezeichnet T P den Permutationsoperator im Hilbert-Raum H (N) , der eine bestimmte PermutationP der Teilchenummern erzeugt, und an Stelle von x ν wurde vereinfacht nur ν geschrieben. DieSumme läuft über alle N! Permutationen P der Permutationsgruppe S und p bezeichnet die Anzahlder Zweiervertauschungen, die P in das Einselement überführen. Für die Besetzungszahlen muss danngelten ∑ ∞ν=1 n ν = N. Vertauscht man zwei Bosonen, so kommt in der Summe wieder jede Permutationeinmal vor und der Zustand |n 1 n 2 . . .〉 bleibt unverändert.Im Falle von Fermionen können die Besetzungszahlen nach dem Pauli-Prinzip nur n ν = 0 odern ν = 1 sein, und die Zustände lassen sich als Slater-Determinante schreiben|n 1 n 2 . . .〉 = Ψ SDν 1 ν 2 ...ν N= 1 √N!detψ ν1 (1) ψ ν1 (2) · · · ψ ν1 (N)ψ ν2 (1) ψ ν2 (2) · · · ψ ν2 (N). . . . . ... ..∣∣ψ νN (1) ψ νN (2) · · · ψ νN (N)