Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Ferner bezeichnen u j (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen undν j (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen diereellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · u j (q) = 0, so dass es nur zwei transversale, linearunabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.BeimÜbergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Formwie in Abschn. 1.4 ˆψ(x) = ∑ ν ψ ν(x)a ν mit dem Vernichtungsoperator a ν für ein Teilchen bzw. hierˆψ(r, t) = ∑ ∑j q ψ j(q,r)c j (q, t) mit den Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren c j (q, t) und c + j (q, t)√Â(r, t) = √ 1 2∑ ∑ ¯h2 2πεν j (q)j=1q[u j (q) 1 √Vexp {iq · r}c j (q, t) + u j (q) 1 √Vexp {−iq · r} c + j (q, t) ].Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen√2πενj (q)c j (q, t) = exp { − i2πν j (q)t } √bzw. c + j¯h(q, t) = 2πενj (q)exp { i2πν j (q)t }¯herfüllen die Schwingungsgleichung∂c j (q, t)∂t= −i2πν j (q)c j (q, t) oderj=1q∂ 2 c j (q, t)∂t 2 + ( 2πν j (q) ) 2cj (q, t) = 0.Das zu A(r, t) = (A 1 , A 2 , A 3 ) gehörige Impulsfeld ˆ⃗π(r, t) = (π 1 , π 2 , π 3 ) ist dann√ˆ⃗π(r, t) = ε ∂Â∂t = √ 1 2∑ ∑[¯h− iε2πν j (q)u j (q) √ 1 exp {iq · r}c 2 2πεν j (q)j (q, t)V+ iε2πν j (q)u j (q) 1 √Vexp {−iq · r}c + j (q, t) ].