Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

B Feldoperatoren als SpinorenDie Erzeugungsoperatoren a + νσ bzw. Vernichtungsoperatoren a νσ für ein Elektron im Zustand |νσ〉 mitσ = ± 1 2 werden analog zu Abschn. 1.2 eingeführt, und die Spinorkomponenten ˆψ σ + (r) bzw. ˆψσ (r) derFeldoperatoren ergeben sich daraus entsprechend∞∑∫ˆψ σ (r) = ϕ ν (r)a νσ mit a νσ =ˆψ + σ (r) =ν=1∞∑∫ϕ ∗ ν(r)a + νσ mit a + νσ =ν=1Die Antivertauschungsrelationen sind dann mit {a, b} = ab + baϕ ∗ ν (r′ ) ˆψ σ (r ′ ) d 3 r ′ϕ ν (r ′ ) ˆψ + σ (r ′ ) d 3 r ′ .{a νσ , a + µτ } = δ νµ δ στ 1 ; {a νσ , a µτ } = 0 = {a + νσ, a + µτ }{ ˆψσ (r), ˆψ τ + (r′ ) } = δ στ δ(r − r ′ {)1 ; ˆψσ (r), ˆψ τ (r ′ ) } = 0 = { ˆψ+ σ (r), ˆψ τ + (r′ ) } .Mit der VollständigkeitsbeziehungˆN ==∞∑ν=1±1/2∑σ±1/2∑σ∫a + νσ a νσ = ∞∑ν=1∞∑ϕ ν (r)ϕ ∗ ν (r′ ) = δ(r−r ′ ) ergibt sich dann der Teilchenzahloperatorν=1±1/2∑ˆψ + σ (r)δ(r − r ′ ) ˆψ σ (r ′ ) d 3 r d 3 r ′ =σ∫ϕ ν (r) ˆψ + σ (r)ϕ∗ ν (r′ ) ˆψ σ (r ′ ) d 3 r d 3 r ′±1/2∑σ∫ˆψ + σ (r) ˆψ σ (r) d 3 r =±1/2∑σ∫ˆn σ (r) d 3 r.