Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Die Variation des Wirkungsintegrals muss hier bezüglich der Felder ψ ν (r, t) mit vier unabhängigenVariablen geschehen, so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gemäßδ∫ t2t 1L dt = 0 mit L =∫L d 3 r und L = L ( ψ ν (r, t), ψ ν|k (r, t), ˙ψ ν (r, t), t )zu bestimmen ist, die von den ψ ν , den ˙ψ ν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nachden Ortskoordinaten ψ ν|k = ∂ψ ν∂x kmit k = 1, 2, 3 abhängen kann.Die Variation der ψ ν (r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t 1 , t 2 verschwinden.Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegralsδδψ ν (r, t)∫ t2t 1dt ′ ∫d 3 r ′ L ( ψ ν (r ′ , t ′ ), ψ ν|k (r ′ , t ′ ), ˙ψ ν (r ′ , t ′ ), t ′) = 0die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder ψ ν (r, t) für ν = 1, 2, . . .n∂L∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂L∂ψ ν|k− ∂ ∂t∂L∂ ˙ψ ν= 0,die zu den Ausgangsgleichungen führen.