Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

2.4 Zweite QuantisierungBetrachtet man die Lösungen ψ ν (r, t) mit ν = ± 1 2der Einelektronen-Schrödinger-Gleichung−¯hi ˙ψ ν (r, t) = − ¯h22m ∆ψ ν(r, t) +n∑v νµ (r, t)ψ µ (r, t)für die einzelnen Spinorkomponenten ψ µ (r, t) als eine klassische Feldgleichung, so bezeichnet man dieQuantisierung dieses Schrödinger-Feldes auch als ”zweite Quantisierung”. Diese Schrödinger-Gleichungergibt sich mit dem Formalismus des vorangegangenen Abschnittes aus der Lagrange-Dichteµ=1L = −¯h in∑ν=1ψ ∗ ν ˙ψ ν − ¯h22mn∑ν=11,...n∇ψν ∗ · ∇ψ ν − ∑ν,µψ ∗ ν v νµψ µ ,wobei m die Teilchenmasse und v νµ (r, t) ein spinabhängiges, lokales Potenzial bezeichnen. Es ist zubeachten, dass die Wellenfunktionen ψ ν (r, t) komplex sind, wobei Real- und Imaginärteil als linear unabhängiganzusehen sind. Bei komplexer Variation der ψ ν (r, t) sind andererseits ψ ν und die konjugiertkomplexe Funktion ψν ∗ als linear unabhängig zu betrachten.Zum Beweise berechnen wir die Teile der Euler-Lagrange-Gleichungen einzeln∂L∂ψ ∗ ν= −¯h i ˙ψn∑ν − v νµ ψ µµ=1