Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Es werden nun kanonisch konjugierte Impulsfelder π ν (r, t) und eine von den ˙ψ ν unabhängige Hamilton-Dichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingeführtπ ν (r, t) = ∂L∂ ˙ψ νund D(ψ ν , ψ ν|k , π ν , π ν|k , t) =n∑π ν ˙ψ ν − Lund die von den ˙ψ ν unabhängige Hamilton-Funktion∫H = D(ψ ν , ψ ν|k , π ν , π ν|k , t) d 3 r.ν=1mit∂D∂ ˙ψ ν= 0,Aus dem totalen Differenzial der Hamilton-Funktion H(ψ ν , π ν ) =∫ [ ∑νπ ν ˙ψ ν −L(ψ ν , ψ ν|k , ˙ψ]ν , t) d 3 rn∑ν=1[ δHδψ νδψ ν + δHδπ νδπ ν]=n∑ν=1[− δLδψ νδψ ν + ˙ψ ν δπ ν]undδLδψ ν= ∂L∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂L∂ψ ν|k= ∂ ∂t∂L∂ ˙ψ νerhält man wegen − δHδψ ν= δLδψ ν= ∂ ∂tδLδ ˙ψ ν= ∂ ∂t π ν die Hamiltonschen Gleichungen für Felder∂ψ ν∂t= δHδπ ν= ∂D∂π ν−3∑k=1∂∂x k∂Dund − ∂π ν∂π ν|k ∂t= δHδψ ν= ∂D∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂D∂ψ ν|k.