Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

2.6 Quantisierung freier elektromagnetischer FelderZur Quantisierung des Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugierten Felder A k (r, t) undπ k (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. ˆπ k mit den Vertauschungsrelationen für Bosonen angesetzt:[ˆπk (r, t), Âl(r ′ , t) ] = ¯h i δ klδ(r − r ′ )1 und [ˆπ k (r, t), ˆπ l (r ′ , t) ] = 0 = [ Â k (r, t), Âl(r ′ , t) ] .Wir schreiben die Lösungen der homogenen WellengleichungA = 0 als Linearkombination vonebenen Wellen mit reellem A, dann ist auch die elektrische Feldstärke E = −Ȧ reell,A(r, t) = 1 √22∑j=1∑q[u j (q) √ 1]exp {iq · r} exp {−i2πν j (q)t} + konjugiert komplexer Ausdruck .VDie Basisvektoren des Gitters a 1 , a 2 , a 3 spannen die Elementarzelle bzw. das PeriodizitätsgebietΩ = (a 1 ,a 2 ,a 3 ) auf und die Vektoren La 1 , La 2 , La 3 das Grundgebiet V = L 3 Ω mit 1 ≪ L. Dieperiodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp { iq · (r + La j ) } = exp {iq · r} erfordern dieBedingung exp {iq · a j L} = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektorenq = m 1L b 1 + m 2L b 2 + m 3L b 3 mit ganzen Zahlen m 1 , m 2 , m 3ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren b j = 2π Ω a k × a l mit zyklischen (j, k, l) dieBedingungen a j · b k = 2πδ jk .