Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

6.2 Kohn-Sham-GleichungenMit der Grundzustandsenergie ist auch 〈g| ˆT + ˆV ee |g〉 ein Funktional der Elektronendichte. Zur Bestimmungdieses noch unbekannten universellen Funktionals, zerlegen wir es in drei Teile∫E g = E[n] = 〈g| ˆT + ˆV ee |g〉 + v(r)n(r) d 3 r∫= T s [n] + v(r)n(r) d 3 r + 1 ∫ n(r)n(r ′ )2 |r − r ′ d 3 r d 3 r ′ + E xc [n],|und das doppelte sogenannte Hartree-Integral beschreibt die elektrostatische Abstoßungsenergie, wie esauch in den Hartree-Fock-Gleichungen anzutreffen ist. Das Funktional T s [n] ist die kinetische Energiewechselwirkungsfreier Elektronen und wird später definiert. Der letzte Term E xc [n] heißt AustauschundKorrelationsfunktional, beinhaltet das Austauschintegral und die Korrelationsenergie, und ist alsDifferenz zu den übrigen definiert, und somit ebenfalls ein Funktional der Elektronendichte.Auf Grund des Hohenberg-Kohn-Theorems berechnen wir das Minimum des Energiefunktionalsbei Variation der Elektronendichte n(r) mit der Nebenbedingung fester Teilchenzahl N = ∫ n(r ′ ) d 3 r ′ ,die wir mit Hilfe eines Lagrange-Parameters µ berücksichtigen[ ∫δT s [n] + v(r ′ )n(r ′ ) d 3 r ′ + 1 ∫ n(r ′ )n(r ′′ )( ∫δn(r)2 |r ′ − r ′′ d 3 r ′ d 3 r ′′ + E xc [n] + µ N −|Ausführen der Variationsableitung liefertδT s [n]δn(r) + v(r) + v H[n](r) + v xc [n](r) − µ = 0n(r ′ ) d 3 r ′)] = 0.