Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Freie Energie F, Entropie S und hydrostatischer Druck p ergeben sich dann im thermodynamischenGleichgewicht nach den Postulaten der Quantenstatistik zuF(T, V ) = −k B T lnZ(T, V ) ;S(T, V ) = −( ∂F∂T)Vund p(T, V ) = −( ∂F∂V)T,wobei p = p(T, V ) auch Zustandsgleichung genannt wird.Die Zustandssumme berechnet sich aus den Eigenwerten des Energieoperators H(V ) im Rahmender Born-Oppenheimer-Näherung zu Eνµ BON = Eν El (X 0 ) + Eνµ Ion (X 0 ) mit den Energieeigenwerten derEektronen Eν El (X 0 ) und der der Ionen EIon νµ (X 0 ) an den Ruhelagen der Atomkerne X 0 = (R 1, . . .R M ).Verwendet man zur Berechnung der Spur die Eigenfunktionen der Energieoperators, so erhält man{ {Z(T, V ) = Sp exp− H(V ) } } = ∑ k B Tν,µexp{− EEl ν + EνµIon }k B T= ∑ νexp{ }− EEl ∑νexpk B Tµ{− EIon νµk B TBei Halbleitern ist die Energielücke E L zwischen Leitungsband und Valenzband E L ≫ k B T beiZimmertemperatur T = 300 K groß gegen die thermische Anregungsenergie k B T, sodass nur der Termfür den elektronischen Grundzustand ν = 0 eine Rolle spielt. Man erhält dannZ(T, V ) = exp{ }∑− EEl 0expk B Tµ{− EIon 0µk B T}.}.