Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Die reelle und symmetrische dynamische Matrix lässt sich durch eine unitäre J × J-Matrix U mitUU T = E auf Diagonalgestalt transformieren. Unter der Voraussetzung, dass D = (D jk ) positivdefinit ist, gilt dann UDU T = ( ω 2 j δ jk)mit reellen ωj . Durch Einführung der Normalkoordinatenq k =J∑U kj Q j und p k =J∑U kj P j bzw. Q j =J∑U kj q k und P j =J∑U kj p kj=1j=1k=1k=1mit [p j , q k ] = ¯h i δ jk1 erhält man den Energieoperator ungekoppelter harmonischer SchwingungenH Schw =J∑ [ 12 p2 j + 1 2 ω2 j j]q2j=1mit den Eigenwerten E Schwn 1 n 2 ...n J=J∑j=1(¯hω j n j + 1 ),2wobei die Schwingungsfrequenzen ω j nicht notwendig voneinander verschieden sind. Zusammen erhältman für die Energie der Atomkerne nichtlinearer Moleküle in harmonischer Näherung vereinfachtE Ion = ¯h2 K 22G} {{ }Translation+ ¯h2 L(L + 1)+2θ} {{ }Rotation3M−6∑j=1(¯hω j n j + 1 )2} {{ }Schwingungen.Hier bezeichnet G die Gesamtmasse und θ das Trägheitsmoment des Moleküls, ferner sind K dieAusbreitungsvektoren freier Teilchen, L = 0, 1, 2, . . . und n j = 0, 1, 2, . . ..