Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Mit den Kernkoordinaten X 0 als Parameter lautet dann die Elektronengleichung im Hilbert-Raum H ElH El (x,X 0 )φ ν (x,X 0 ) = E Elν (X 0 )φ ν (x,X 0 )mit∫φ ∗ ν(x,X 0 )φ µ (x,X 0 ) dx = δ νµ .Die Eigenwerte EνEl und Eigenfunktionen φ ν hängen vom Parameter X 0 ab, und die allgemeine Eigenwertgleichungdes Moleküls im Hilbert-Raum H = H El ⊗ H Ion lautetH(x,X)Ψ(x,X) =[]H El (x,X) + T Ion (X) Ψ(x,X) = EΨ(x,X).Zur Lösung entwickeln wir die Molekülzustände Ψ(x,X) ∈ H = H El ⊗ H Ion nach den Eigenzuständenφ ν (x,X) ∈ H El von H El bei festgehaltenem X, die 〈 φ µ (x,X) ∣ ∣ φν (x,X) 〉 El = δ µν erfüllen,Ψ(x,X) = ∑ µφ µ (x,X)χ µ (X) mit χ µ (X) = 〈 φ µ (x,X) ∣ ∣ Ψ(x,X)〉El ∈ HIon ,wobei 〈. . . | . . .〉 El das innere Produkt im Hilbert-Raum H El bezeichnet. Einsetzen liefertHΨ = [ H El (x,X) + T Ion (X) ] Ψ(x,X) = ∑ µH El (x,X)φ µ χ µ + ∑ µT Ion (X)φ µ χ µ = E ∑ µφ µ χ µ= ∑ µE Elµ (X)φ µ χ µ + ∑ µM∑J=1− ¯h2 ∂ 22M J ∂R 2 φ µ χ µ = E ∑Jµφ µ χ µ .