Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

1 TeilchenzahlformalismusIn der quantenmechanischen Beschreibung gebundener Atome besteht der Festkörper oder das Molekülaus N Elektronen der Masse m e , der Ladung e = −e 0 und dem Spin 1/2 und M Atomkernen der MassenM J und der Ladungen Z J e 0 mit J = 1, 2, . . .M, die als geladene Massenpunkte betrachtet werden.Die Elektronen sind insoweit ununterscheidbar und werden als identische Teilchen behandelt.Quantenmechanische Systeme aus N identischen Massenpunkten, z.B. Elektronen, werden ineinem N-Teilchen-Hilbert-Raum als Produktraum aus N Einteilchen-Hilbert-Räumen H ν beschriebenH (N) = H 1 ⊗ H 2 ⊗ . . . ⊗ H N mit ψ ν1 (x 1 ) ∈ H 1 und x 1 = (r 1 ,s 1 ).Hier bezeichnet ν 1 einen geeigneten Satz von Quantenzahlen der Zustände in H 1 und x 1 die Konfigurationskoordinatefür ein Teilchen. Bilden dann die ψ ν1 (x 1 ) eine Basis in H 1 mit 〈ψ ν |ψ µ 〉 = δ νµ , sobilden die Produkte aus N Einteilchen-Basisfunktionen eine Basis in H (N)ψ ν1 ν 2 ...ν N(1, 2, . . .N) = ψ ν1 (1)ψ ν2 (2) . . .ψ νN (N) mit der Ersetzung x N ↔ N.Nach dem Pauli-Prinzip sind jedoch als Zustände nur solche Elemente von H (N) erlaubt, die beiBosonen symmetrisch und bei Fermionen antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchensind. Beschreibt man also die Zustände aus Produkten von Einteilchenfunktionen, sind aufwendigeSymmetrisierungen bzw. Antisymmetrisierungen erforderlich, weil die nach dem Pauli-Prinzip ununterscheidbarenTeilchen zunächst nummeriert werden, was anschließend korrigiert werden muss.