Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Der Erzeugungsoperator a + λ ist der zu a λadjungierte Operator, denn es ist〈n 1 n 2 . . .n λ − 1 . . . |a λ |n 1 n 2 . . . n λ . . .〉 = √ n λ 〈n 1 n 2 . . .n λ − 1 . . . |n 1 n 2 . . .n λ − 1 . . .〉 = √ n λ〈a+λ |n 1n 2 . . .n λ − 1 . . .〉 ∣ ∣ n1 n 2 . . .n λ . . . 〉 = √ n λ 〈n 1 n 2 . . .n λ . . . |n 1 n 2 . . . n λ . . .〉 = √ n λ ,und es gilt ( a + λ) += aλ . Außerdem findet mana + λ a λ |n 1n 2 . . .〉 = n λ |n 1 n 2 . . .〉und der Teilchenzahloperator ˆN hat die Anzahl N der Teilchen jedes Zustandes als EigenwertˆN =∞∑a + λ a λ mit ˆN|n1 n 2 . . .〉 =∞∑a + λ a λ |n 1n 2 . . .〉 =∞∑n λ |n 1 n 2 . . .〉 = N|n 1 n 2 . . .〉.λ=1λ=1λ=1Wir berechnen fernera λ a + λ |n √1n 2 . . .n λ . . .〉 = a λ nλ + 1 |n 1 n 2 . . .n λ + 1 . . .〉 = (n λ + 1)|n 1 n 2 . . .n λ . . .〉,sodass sich (a λ a + λ − a+ λ a λ )|n 1n 2 . . .〉 = |n 1 n 2 . . .〉 ergibt, und wir erhalten die Vertauschungsrelationenfür Bosonen mit dem Kommutator [a, b] = ab − ba[a λ , a + µ ] = δ λµ 1 ; [a λ , a µ ] = 0 = [a + λ , a+ µ ].