Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Die Anwendung der Hohenberg-Kohn-Theoreme liefert für die Grundzustandsenergie das Funktional∫Ẽ g = Ẽ[ñ] = T s[ñ] + U(r)ñ(r) d 3 r,dessen Variationsableitung mit der Nebenbedingung dieselbe Gleichung ergibt, wie E g = E[n]δT s [ñ]δñ(r) + U(r) − µ = δT s[ñ]δñ(r) + v(r) + v H[ñ](r) + v xc [ñ](r) − µ = 0.Also muss die Lösung dieser Gleichung die Grundzustandselektronendichte sowohl für das durch H alsauch für das durch ˜H beschriebene System sein, sodass ñ(r) = n(r) folgt. Dann berechnet sich dieGrundzustandsenergie Ẽg ausẼ g =besetzt∑j∫ε j = T s [n] +∫v(r)n(r) d 3 r +∫v H [n](r)n(r) d 3 r +v xc [n](r)n(r) d 3 r,wodurch sich das Funktional der kinetischen Energie wechselwirkungsfreier Elektronen T s [n] bestimmenlässtT s [n] =besetzt∑j∫ε j −∫v(r)n(r) d 3 r −∫v H [n](r)n(r) d 3 r −v xc [n](r)n(r) d 3 r.Einsetzen in das Funktional E g = E[n] liefert dann die gesuchte GrundzustandsenergieE g = E[n] =besetzt∑jε j − 1 2∫ n(r)n(r ′ )|r − r ′ |∫d 3 r d 3 r ′ −v xc [n](r)n(r) d 3 r + E xc [n].