Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Mit dem Hartree-Potenzial und dem Austausch-Korrelations-Potenzialv H [n](r) =δ ∫1 n(r ′ )n(r ′′ ∫)δn(r) 2 |r ′ − r ′′ d 3 r ′ d 3 r ′′ n(r ′ )=||r − r ′ | d3 r ′ ; v xc [n](r) = δE xc[n]δn(r) .Nun setzen wir einmal voraus, dass das Einelektronenpotenzial bekannt ist, und betrachten ein Systemaus N Elektronen in diesem gegebenen Potenzial U(r) mit dem Energie-Operator˜H =N∑ [j=1− 1 ]2 ∆ j + U(r j )mit U(r) = v(r) + v H [n](r) + v xc [n](r)der keine Elektron-Elektron-Wechselwirkung enthält. Die zugehörige Eigenwertgleichung lässt sich miteinem Produktansatz separieren und führt auf die Einelektronen-Schrödinger-Gleichung[− 1 ]∫2 ∆ + U(r) ψ j (r) = ε j ψ j (r) mit ψj(r)ψ ∗ j (r) d 3 r = 1.Die daraus resultierende N-Elektronen Grundzustandsenergie Ẽg und Elektronendichte ñ(r) sindẼ g =besetzt∑jε j und ñ(r) =besetzt∑j∣ ψj (r) ∣ ∣ 2 ,wobei über die besetzten Zustände bei Beachtung des Spins zu summieren ist. Der zugehörige Operatorim Teilchenzahlformalismus hat die Formˆ˜H =± 1 2∑σ∫[ˆψ σ + (r) − 1 ]2 ∆ + U(r) ˆψσ (r) d 3 r.