Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren ergeben sich direkt aus denen der Vernichtungs- undErzeugungsoperatoren für Bosonen bzw. Fermionen:[ ˆψ(x), ˆψ+ (x ′ ) ] = δ(x − x ′ )1 ;{ ˆψ(x), ˆψ+ (x ′ ) } = δ(x − x ′ )1 ;[ ˆψ(x), ˆψ(x ′ ) ] = 0 = [ ˆψ+ (x), ˆψ + (x ′ ) ] für Bosonen{ ˆψ(x), ˆψ(x ′ ) } = 0 = { ˆψ+ (x), ˆψ + (x ′ ) } für Fermionen,indem man die Vertauschungsrelationen der a ν und a + νund die Vollständigkeitsbeziehung einsetzt:[ ˆψ(x), ˆψ+ (x ′ ) ] =1...∞∑ν,µψ ν (x)[a ν , a + µ ]ψ ∗ µ(x ′ ) =1...∞∑ν,µψ ν (x)δ νµ ψ ∗ µ(x ′ )1 =∞∑ψ ν (x)ψν(x ∗ ′ )1 = δ(x − x ′ )1.ν=1Für den Teilchenzahloperator ˆN erhält man∞∑∫ˆN = a + λ a λ = ˆψ + (x) ˆψ(x) dτ =λ=1∫ˆn(x) dτ mit ˆn(x) = ˆψ + (x) ˆψ(x),mit dem Teilchendichteoperator ˆn(x), und für den Energieoperator ergibt sichĤ ==1...∞∑∫λ,µA λµ a + λ a µ + 1 21...∞∑λ,µ,ν,ρˆψ + (x)A(x) ˆψ(x) dτ + 1 2B λµνρ a + λ a+ µ a ν a ρ∫ˆψ + (x ′ ) ˆψ + (x)B(x, x ′ ) ˆψ(x) ˆψ(x ′ ) dτ dτ ′ ,wobei A(x) den Einteilchen- und B(x, x ′ ) den Zweiteilchenoperator bezeichnet.