Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Dann schreibt sich die Grundzustandsenergie in der Form∫E g = 〈g| ˆT + ˆV ee |g〉 + v(r)n(r) d 3 r.Hohenberg-Kohn-Theorem I. Bei nicht entartetem Grundzustand ist die Grundzustandsenergiedes inhomogenen Elektronengases ein Funktional der Grundzustandselektronendichte E g = E[n].Zum Beweise beachtet man, dass die Grundzustandselektronendichte n(r) über den Grundzustand|g〉 ein Funktional des Einelektronenpotenzials v(r) ist: n = n[v](r). Es wird nun gezeigt, dassumgekehrt das Potenzial v(r) ein Funktional der Grundzustandselektronendichte n(r) ist: v = v[n](r).Dazu genügt es zu zeigen, dass aus zwei verschiedenen Potenzialen v ′ (r) ≠ v(r) auch zwei verschiedeneElektronendichten n ′ (r) ≠ n(r) resultieren, wobei v ′ (r) sich von v(r) um mehr als eine Konstanteunterscheiden muss, weil sonst |g ′ 〉 = |g〉 und n ′ (r) = n(r) gelten würden. Zu v ′ und v gehören dieEnergieoperatoren Ĥ′ und Ĥ mit ˆV ′ bzw. ˆV und die Grundzustände |g ′ 〉 und |g〉, sowie die GrundzustandsenergienE ′ g bzw. E gvnvnE ′ g = 〈g′ |Ĥ′ |g ′ 〉und E g = 〈g|Ĥ|g〉.v ′v ′n ′Nach dem Variationsprinzip folgt dannAbbildunginjektivE ′ g < 〈g|Ĥ′ |g〉 = 〈g|Ĥ − ˆV + ˆV ′ |g〉 = E g +∫ (v ′ (r) − v(r) ) n(r) d 3 r.