Quantenmechanik gebundener Atome - Institut für Theoretische Physik

Führt man jetzt zur Quantisierung von Fermionenfeldern für die kanonisch konjugierten Felder ψ ν (r, t)und π ν (r, t) die folgenden Antivertauschungsregeln mit {a, b} = ab + ba ein,{ˆπν (r, t), ˆψ µ (r ′ , t) } = −¯h i δ νµδ(r − r ′ )1 und {ˆπ ν (r, t), ˆπ µ (r ′ , t) } = 0 = { ˆψν (r, t), ˆψ µ (r ′ , t) } ,so ergeben sich mit ˆπ ν = −¯h ˆψ + i ν die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren zur Erzeugung oderVernichtung eines Fermions im Zustand ψ ν (r, t){ ˆψν (r, t), ˆψ + µ (r ′ , t) } = δ νµ δ(r − r ′ )1 und { ˆψ+ ν (r, t), ˆψ + µ (r ′ , t) } = 0 = { ˆψν (r, t), ˆψ µ (r ′ , t) } .Damit schreibt sich der Energieoperator nach Integration der Energiedichte über den Ortsraum undpartieller IntegrationĤ =∫ˆD d 3 r ==∫ (−2m) ¯h2 ī(− ¯h ) ∑ n∇h iˆψ ν + · ∇ ˆψ ν d 3 r − ī hν=1∫∑ n [ ]ˆψ ν + (r, t) − ¯h21...n2m ∆ ∑∫ˆψν (r, t) d 3 r +ν=1ν,µ∫ 1...n ∑ν,µ−¯h i ˆψ + ν v νµ ˆψµ d 3 rˆψ + ν (r, t)v νµ (r, t) ˆψ µ (r, t) d 3 r,er besteht aus einem Teil der kinetischen Energie ˆT und dem der potenziellen Energie ˆV .