Diplomarbeit - Institut für Halbleiter

22KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER TRANSMISSIONSELEKTRONENMIKROSKOPIE
würfelförmigen Einheitszelle besteht, gilt: a = b = c. Alle bekannten Kristallgitter lassen sich
auf 14 grundlegende Punktgitter sogenannte Bravais Gitter zurückführen [10].
2.4.2 Ebenen im Kristall
�r = n1 · �a + n2 · � b + n3 · �c mit n1, n2, n3 ∈ Z (2.15)
Durch beliebige drei Punkte im Kristallgitter, lässt sich eine Ebene durch den Kristall de-
finieren. Zu jeder dieser Ebenen gibt es beliebig viele im Abstand d dazu parallele Ebenen.
Diese Menge an Ebenen (Netzebenenschar) lässt sich durch ein Zahlentriplett (h,k,l) - die
sogenannten Miller-Indizes - charakterisieren. Dieses erhält man, wenn man die reziproken
Werte der Schnittpunkte, der dem Ursprung am nähesten liegenden Ebene mit den Koor-
dinatenachsen, mit ihrem gemeinsamen Nenner multipliziert. Nehmen wir z.B. jene Ebene,
die durch die Punkte (2,0,0), (0,4,0) und (0,0,3) in einem kubischen Kristallgitter definiert
ist. Diese Ebene schneidet die x-Achse an der Stelle 2, die y-Achse an der Stelle 4 und die
z-Achse an der Stelle 3. Die reziproken Werte lauten 1 1
2 , 4
12. Das charakteristische Zahlentriplett ergibt sich dann aus (12 · 1
2
1 und 3 ; ihr gemeinsamer Nenner ist
, 12 · 1
4
1 , 12 · 3 ) also (6,3,4).
Man spricht dann von der Menge der (6 3 4)-Ebenen oder Ebenen mit den Miller-Indizes (6
3 4) Für weitere Beispiele siehe Abbildung 2.8.
Schneidet eine Ebene eine der Achsen im negativen Bereich, so wird der dazugehörige
Miller-Index mit einem Überstrich versehen. Die Ebene, welche die Achsen an den Werten
x = −1, y = 1 und z = −2 schneidet, hat die Miller-Indizes (221).
Jede Netzebenenschar ist durch ihre Miller-Indizes (hkl) eindeutig definiert. Ebenso ist
auch der Ebenenabstand durch die Miller-Indizes eindeutig festgelegt. Für ein kubisches Git-
ter mit einer Gitterkonstanten a ergibt sich:
dhkl =
a
√ h 2 + k 2 + l 2
(2.16)
Da viele Kristallebenen aufgrund der Symmetrieeigenschaften des jeweiligen Kristallgitters
zueinander äquivalent sind, kann man diese zusammenfassen. So steht z.B. in einem kubischen
Kristallgitter {100} für die (100), (010), (001), (100), (010) und (001) Ebenen.
2.4.3 Kristallorientierung
Mit jeder Kristallebene und deren Miller-Indizes ist gleichzeitig auch ein Vektor definiert, der
normal auf diese Ebene steht. Diese Vektoren werden benutzt, um Richtungen im Kristall