Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

ymmärtää myös siten, että se kuvaa kauttaaltaan yhdenmukaista hiukkas”suihkua” .(Mansfield, O'Sullivan, 1998 : 380-381) Vuorovaikutuksessa lokalisoituva hiukkanenkuvataan Fourier-integraalina lasketun aaltopaketin avulla. Tällöin aaltofunktio ilmoitetaankaavan∞x ,t=∫−∞∞Ake ikx−t dk =∫−∞Ake ikx− ħ k 22m t dk (4)avulla. Suureet x ja t kuvaavat paikkaa ja aikaa, jossa vuorovaikutuksen tapahtumistatarkastellaan. (Brehm, Mullin, 1989 : 222)Todennäköisyystulkinta. Aaltofunktion avulla voidaan laskea todennäköisyystiheys P(x,t),jonka avulla saadaan todennäköisyys sille, että hetkellä t vuorovaikutus tapahtuu välillä dx.P x ,t dx=∣ * x , tx , t∣ 2 dx (5),missä * on aaltofunktion kompleksikonjugaatti 8 . Todennäköisyys, että hetkellä tvuorovaikutus tapahtuu välillä x = x 1 ...x 2 saadaan kaavan (5) integraalin avullax 2P x,t =∫ ∣ * x ,tx ,t∣ 2 dx (6)x 1Aaltofunktio normalisoidaan asettamalla koko x-akselin yli otetun integraalin arvoksi yksi(tämä tarkoittaa, että todennäköisyyden arvo sille, että hiukkanen on jossakin x-akselilla, onyksi)∞∫∣ * x ,t x ,t∣ 2 dx=1 (7)−∞(Brehm, Mullin, 1989 : 228). Tietyn suureen S havaintojen odotusarvo 〈S 〉 saadaan kaavan∞〈S 〉=∫ * x ,t S x ,t x ,t (8)−∞avulla, missä uuretta S edustaa sitä vastaava operaattori S(x, t), esimerkiksi energiaa E vastaakaavan (11) mukainen operaattori. (Brehm, Mullin, 1989 : 260-268)Schrödingerin yhtälö yhdessä ulottuvuudessa. Derivoimalla yhtälön (3) aaltofunktiota x:n jat:n suhteen kaavan (9) mukaisesti havaitaan yhtäsuuruus−ħ 22m∂ 2∂ x 2 =i ħ ∂ ∂t (9),8 Esim.: Jos =Ae i kx−t , niin * =A * e −ikx−t .120