Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

Kuva D.1: Karteesinen koordinaatisto ja pallokoordinaatisto (Brehm, Mullin, 1989 : 304)Muuttuja r riippuu karteesisista koordinaateista kaavanr= x 2 y 2 z 2 (21)mukaisesti. Geometrisen tarkastelun avulla saadaan muunnoskaavat pallokoordinaatistostakarteesisiin koordinaatteihin x, y ja zx = r sin cos y = r sin sin (22)z = r cos Muunnoskaavojen avulla on mahdollista muuntaa Schrödingerin yhtälö (15) pallokoordinaatistoon9 ,−missäħ22 r 2 ∂ ∂r r2 ∂ ∂ r 2 V r=i ħ ∂ ∂t (23), 2 = 1sin ∂∂ sin ∂ ∂ 1sin 2 ∂ 2∂ 2 (24).Klassisen yhtälön (20) liikemäärän komponentin neliötä p r2vastaa tällöin pelkästään r:nsuhteen operoiva operaattori ja liikemäärämomentin neliötä L 2 vastaa pelkästäänkulmamuuttujien suhteen operoiva operaattorip 2 r ħ 21 ∂i ∂ r 2 ∂ r r2∂ rL 2 ħ 22i 2 = ħi1sin ∂∂ sin ∂ ∂ 1sin 2 (25)∂ 2∂ 2 (26).Ajan suhteen muuttumattomia tiloja kuvatessa aaltofunktion oletetaan olevan muotoa9 Tässä käytetään derivoinnin ketjusääntöä, jolloin esimerkiksi ∇ 2 :ssa esiintyvä 2. derivaatta x:n suhteen saadaan kaavojen∂r ,t= ∂ ∂ r ,t= x ∂ r ,t ∂ 2 r ,t ja = 1 ∂ r ,t− x2 ∂ r ,t x 2 ∂ 2 r , t∂ x ∂ r ∂ x r ∂ r∂ x 2 r ∂ r r 3 ∂ r r 2 ∂ r 2 avulla,kun tarkastellaan :n riippuvuutta vain muuttujasta r.123