Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

m=−l ,−l1,...,l−1,l (39).Ominaisfunktion kulmamuuttujista riippuvan osan Y(,) muoto muodostuu siisdifferentiaaliyhtälöiden (34) ja (35) ratkaisuista kaavan (33) mukaisesti, missädifferentiaaliyhtälön (35) mahdollisten ratkaisujen muodoksi määräytyy kaavojen (36) ja (39)mukaisestiY l , m , = l , m m = l , m e i m (40).Funktion Y(,) ominaisarvot ovat kaavan (32) mukaisesti kaavassa (38) ilmoitetut arvot.(Brehm, Mullin, 1989 : 309-319) Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö voidaan nytkirjoittaa kaavojen (23), (29), (32) ja (38) nojalla muotoon−2 ħ2 1 ∂ ∂r 2 ∂ r r2∂ r l l1r RrV r Rr= E Rr 2 (41).Tarkastelussa ei ole huomioitu atomien elektronien vaikutusta. Mikäli elektronienliikemäärämomenttia vastaava kvanttiluku on 0, yhtälö (41) pätee sellaisenaan. Monissatilanteissa on myös mahdollista korvata l(l+1) kokonaisliikemäärämomentin neliöllä J 2(Brehm, Mullin, 1989 : 523). Differentiaaliyhtälön (41) ratkaiseminen olisi periaatteessamahdollista, jos potentiaali V(r) tunnetaan, mutta yksinkertaisella approksimaatiolla saadaanhelposti arvio energian rotaatiotiloille. Potentiaalilla V(r) on minimi tietyssä kohdassa r 0 . Josoletetaan, että värähtelyn ja kiertoliikkeen voimakkuus ovat niin pieniä, että R(r):nkeskimääräinen arvo ei oleellisesti muutu, voidaan arvioida, että r r 0 , jolloin saadaan arviorotaatilojen energialleE rot≈ ħ2 l l12 (42).2 r 0(Brehm, Mullin, 1989 : 523)Ajasta riippumattomia tiloja kuvaava Schrödingerin yhtälö (41) voidaan kirjoittaa muotoon 121 ∂ 2[r Rr ] ħ 2 l l1R rV r Rr=E Rr22 r ∂ r 2 r 2− ħ2VibraatiotilatRotaatiotilatKerrotaan yhtälö puolittain r:llä ja otetaan käyttöön merkintäU r=rRr (44).Tällöin vibraatiotiloja kuvaava differentiaaliyhtälö on(43).12 Tässä on käytetty vaihtoehtoista, kaavan (23) kanssa yhtäpitävää, muotoa Schrödingerin yhtälöllepallokoordinaatistossa, vaihtoehtoinen muoto on − ħ22r 2 r ∂ 2∂r 2[r ]2 V r=i ħ ∂ ∂ t . 126