Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

=r , ,e −iEt /ħ (27),missä on ajasta riippumaton ominaisfunktio. Kaavan (15) mukaisesti energia E on tällöinaaltofunktion ominaisarvo. (Brehm, Mullin, 1989 : 304-307) Klassisessa fysiikassa yhtälön(27) voi ajatella vastaavan seisovaa aaltoliikettä. Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälösaadaan sijoittamalla kaavan (27) mukainen aaltofunktio yhtälöön (23) ja jakamallamolemmat puolet aikamuuttujasta riippuvalla tekijällä e −iEt /ħ .Kahden atomin molekyyli. Tarkastellaan kahdesta samanlaisesta atomista koostuvaamolekyyliä. Tämän yksinkertaisen esimerkin avulla voidaan ymmärtää molekyylien rotaatio-ja vibraatiotilojen energian kvantittuminen. Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälökarteesisissa koordinaateissa on tällöin−ħ 22m ∇ 2 1∇ 2 2 R 1 ,R 2 V rR 1 , R 2 = E R 1 , R 2 (28),missä (R 1 , R 2 ) on molekyylejä kuvaavan aaltofunktion ominaisfunktio 10 ja r=∣R 1−R 2∣ .Keskeispotentiaalin voidaan siis olettaa riippuvan vain atomien välisestä etäisyydestä. Kutenedellä klassisessa tarkastelussa, on mahdollista redusoida matemaattinen tarkasteluyhdenmukaiseksi yhden hiukkasen tapauksen kanssa käyttämällä suhteellista koordinaattiar = R 1 - R 2 ja redusoitua massaa = m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) = m/2. (Brehm, Mullin, 1989 : 522-523)Pallokoordinaatistossa hiukkassysteemiä kuvaava Schrödingerin yhtälö on tällöin kaavojen(23) ja (24) mukainen. Molekyylin energian vibraatiotilojen kvantittuminen johtuuSchrödingerin yhtälön (23) radiaalisesta, eli muuttujasta r riippuvasta osasta. Vastaavastirotaatiotilojen kvantittuminen johtuu kulmamuuttujista ja riippuvasta osasta. Tämänähdään seuraavan tarkastelun nojalla. Oletetaan, että ominaisfunktio voidaan kirjoittaaerikseen muuttujasta r riippuvan tekijän R(r) ja kulmamuuttujista riippuvan tekijän Y(,)tulonar , ,=R rY , (29).Voidaan myös olettaa keskeispotentiaalin riippuvan vain muuttujasta r. Tällöin Schrödingerinyhtälön (23) mukainen ajasta riippumatonta tilaa kuvaava yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon1R r[ ddr r 2 dR r2 r2dr ħ ] E −V r Rr =− 2 Y ,2 Y ,(30).Koska yhtälön (30) vasen puoli riippuu vain muuttujasta r ja oikea puoli vain10 Jos x-koordinaatin suhteen yleisessä tapauksessa 1 (x 1 ) ja 2 (x 2 ) sekä E 1 ja E 2 kuvaavat hiukkasten 1 ja 2ominaisfunktioita ja energioita, on yhdistetty ominaisfunktio muotoa (x 1 , x 2 ) = 1 (x 1 ) 2 (x 2 ) ja systeeminenergia E = E 1 + E 2 . (Brehm, Mullin, 1989 : 285)124