Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

jota kutsutaan Schrödingerin yhtälöksi (Brehm, Mullin, 1987 : 222). Tämä yhtälö onvoimassa vapaalle hiukkaselle, joka ei ole potentiaalikentässä. Yhtälöä (9) ei ole johdettuaikaisemmista fysikaalisista periaatteista, vaan se tulisi käsittää hypoteesiksi, jonka toimivuuson arvioitu sen mittauksissa havaittaville fysikaalisille ominaisuuksille antamien ennusteidenperusteella (Brehm, Mullin, 1989 : 223). Vertaamalla yhtälöä (9) klassiseen kineettisenenergian kaavaan, p 2 /(2m) = E, nähdään kuinka operaattorit vastaavat klassisen fysiikanliikemäärää ja energiaa.p 2 −ħ 2∂2∂ x 2 (10)E i ħ ∂ ∂t(11)Klassisen fysiikan mukaisesti potentiaalikentässä V(x) olevan hiukkasen energia voidaanilmoittaa Hamiltonin funktionH p , x=p2V x=E (12)2mavulla. (Mansfield, O' Sullivan, 1998 : 378) Potentiaalikentän vaikutus voidaan Schrödingerinyhtälössä ottaa vastaavalla tavalla huomioon lisäämällä potentiaalia kuvaava termi yhtälön (9)vasemmalle puolelle kaavan (13) mukaisesti−ħ 22m∂ 2∂ x 2 V =i ħ ∂ ∂t (13),jolloin saadaan potentiaalikentässä olevan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (Brehm, Mullin,1989 : 224). Kolmessa ulottuvuudessa vastaava yhtälö voidaan esittää ottamalla käyttöönoperaattori∇ 2 = ∂2 ∂2 ∂22 2∂ x ∂ y ∂ z 2 (14)jolloin kolmiulotteinen Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa kaavan−ħ 22m ∇ 2 V =i ħ ∂ ∂t (15)mukaisesti. (Brehm, Mullin, 1989 : 289)Klassisen fysiikan mukainen kuvaus kahdelle attraktiiviselle hiukkaselle. Molekyylinenergian rotaatio- ja vibraatiotilojen kvantittumiseen liittyvän keskeisten periaatteidenkannalta on riittävää tarkastella kahden atomin muodostamaa molekyyliä. Käsitellään ensinklassisen fysiikan mukaista kuvausta. Valitsemalla koordinaatisto seuraavalla tavalla sopivastikahden hiukkasen systeemin matemaattinen kuvaus redusoituu yhden kappaleen kuvauksen121