Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

Otetaan käyttöön merkinnät x = r-r 0 , = E vib – V(R 0 ) ja u(x) = U(x+r 0 ) = U(r). Tällöin yhtälö(49) voidaan kirjoittaa muotoon− ħ2∂ 22 ∂ x ux 1 2 2 Kx 2 ux= ux (50)(Brehm, Mullin, 1989 : 526). Yhtälö (50) on kvanttimekaniikan mukainen kuvaus hiukkaselleharmonisen oskillaattorin potentiaalissa ja sen avulla voidaan tarkastelun nojalla kuvatakaksiatomisen molekyylin vibraatiotiloja, sillä kahden hiukkasen systeemin kuvaus onmatemaattisesti yhdenmukainen yhden hiukkasen kuvauksen kanssa. Yhtälön ratkaisun avullanähdään vibraatiotilojen energian kvantittuminen. Kun otetaan käyttöön merkinnätja 2 = Kħ= 2 ħ Kx 2 (51)(52),yhtälö (50) voidaan kirjoittaa muotoon∂ 2 u∂ 2 = 2 − u (53).Sijoittamalla yhtälöön (53) yriteu=H e −/2 (54),missä H() on joko muotoataik=nH = ∑ a k k ,n parillinen (55)parillinen kk=nH = ∑ a k k ,n pariton (56)pariton koleva polynomi 13 , on mahdollista selvittää yhtälön (53) vakion mahdolliset arvot n=2n1,missä n on kokonaisluku (mukaanlukien 0) (57)(Brehm, Mullin, 1989 : 243-249). Yhtälöiden (53) ja (57) avulla saadaan vibraatiotilojenenergioiden arvotE vib −V r 0 = n =ħ K n 1 2 (58).Jos otetaan käyttöön klassisen fysiikan mukaisen harmonisen oskillaattorin kulmanopeutta13 On mahdollista osoittaa, että H():n on oltava juuri kuvatun kaltainen funktio (Brehm, Mullin, 1989 : 247).Todistusta ei käsitellä tässä tekstissä.128