Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

mukaiseksi. Asetetaan origo hiukkasten massakeskipisteeseen ja merkitään r 1 :llä ja r 2 :llakahden hiukkasen paikkavektoreita ja vastaavasti m 1 :llä ja m 2 :lla hiukkasten massoja, jolloinm 1 r 1 + m 2 r 2 = 0. Merkitään v 1 :lla ja v 2 :lla hiukkasten nopeusvektoreita ja vektoreilla p 1 ja p 2hiukkasten liikemääriä. Olkoon r = r 1 – r 2 , v=dr/dt ja redusoitu massa =m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ).Tällöin hiukkassysteemin kineettinen energia E k , liikemäärä p ja liikemäärämomentti Lsaadaan kaavojenE k= 1 2 m 1v 1 2 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 v2 (16)p=m 1v 1m 2v 2= v (17)L=r 1× p 1r 2× p 2=r×v=r× p (18)avulla. Jos oletetaan hiukkasten olevan keskeispotentiaalissa V(r), on hiukkassysteemiinkohdistuva voimaF=−dV rrdr 0 (19),missä r 0 on vektorin r suuntainen yksikkövektori. Koska voimavektori kulkee origon kautta,se ei aiheuta hiukkassysteemiin vääntöä. Tästä seuraa, että systeemin liikemäärämomentti onajan suhteen vakio. Hiukkasten kiertäessä toisiaan jollakin radalla liikemäärämomenttikoostuu radan suuntaisesta osasta p r ja radan suunnan suhteen kohtisuorasta osasta p ⊥ ,p = p r + p ⊥ , jolloin p 2 = p r2+ p ⊥2 . Kaavan (18) mukaan liikemäärämomentin arvo on L = rp ⊥ .Keskeispotentiaalissa V(r) hiukkassysteemin energia voidaan siis kirjoittaa muotoonE= p22 V r= p 2 2r p ⊥2V r= p 2r2 L2V r (20)2 r(Brehm, Mullin, 1989 : 150-151, 300-303).Schrödingerin yhtälö pallokoordinaatistossa ja ajasta riippumattomat tilat. Energiatilojenmäärityksessä käytettävä ajasta riippumaton kahden kappaleen Schrödingerin yhtälöredusoituu vastaavalla tavalla yhden aaltofunktion tapaukseen kvanttimekaniikan mukaisessatarkastelussa, kun koordinaatisto valitaan samalla tavalla kuin edellä kuvatussa klassisessatapauksessa (origo massakeskipisteessä ja paikkavektori r = r 1 – r 2 ) (Brehm, Mullin, 1989 :522-523). Tästä syystä riittää tarkastella yhden hiukkasen Schrödingerin yhtälöäpallokoordinaatistossa. Pallokoordinaatistossa hiukkasen paikka ilmoitetaan muuttujien r, ja avulla kuvan D.1 mukaisesti.122