Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan ... - Helsinki.fi

kulmamuuttujista ja , on yhtälön molempien puolien oltava yhtäsuuria tietyn vakionkanssa (muutoin esimerkiksi r:n muuttuessa pitäisi myös yhtälön oikean puolen muuttua,mikä ei ole mahdollista). Merkitään tätä vakiota symbolilla . Tällöin yhtälön (30) nojallaovat voimassa yhtälötd dRrdr r2 2 r 2dr ħ2 E−V rR r= R r (31)ja− 2 Y ,= Y , (32).Vastaavasti kuin edellä, oletetaan, että funktio Y voidaan kirjoittaa pelkästään muuttujasta riippuvan tekijän () ja pelkästään muuttujasta riippuvan tekijän () tulona.Y ,= (33).Tällöin yhtälö (32) voidaan kirjoittaa muotoon, jonka molemmat puolet riippuvat erimuuttujista. Vastaavalla tavalla kuin edellä, voidaan todeta, että tällöin molempien puolten onoltava yhtäsuuria tietyn vakion kanssa. Valitaan täksi vakioksi jonkin luvun m neliö, jolloinyhtälöiden (24), (32) ja (33) nojalla ovat voimassa yhtälötjad 2 d 2−m2 =0 (34)1sin dd sin d d −m2sin 2 =0 (35).sin (m), cos (m) ja e im toteuttavat yhtälön (34). Näistä funktioksi valitaan=e i m =cos mi sin m (36).Koska kordinaatti on syklinen, eli se edustaa samaa pistettä jakson [0, 2] välein, on funktion saatava sama arvo tämän jakson välein2=⇔e i m e i m2 =e i m ⇒ cosm 2isin m 2=1 (37),josta nähdään, että luvun m on oltava kokonaisluku (mukaanlukien 0). Tutkimalladifferentiaaliyhtälöä (35) on mahdollista 11 saada toinen kvantittumisehto, jonka mukaanvakion mahdolliset arvot ovat muotoa= l=l l1, missä l=1, 2, 3,... (38)Kvanttilukujen m ja l välinen yhteys määräytyy differentiaaliyhtälön (35) perusteella.Kvanttiluvun m mahdolliset arvot ovat11 Tämän differentiaaliyhtälön ratkaiseminen on olennaisesti monimutkaisempaa kuin aiemmassa tapauksessaja se sivuutetaan tässä tekstissä.125