Identification des mécanismes de fissuration dans un alliage d ...

218 Calculs de cristallographie
en posant :
⎧
⃗u
⎪⎨
′ = ( hl
λ , kl
λ , −λ)
⃗v ′ = ( −k
λ , h λ , 0)
⎪⎩
⃗w ′ = (h, k, l)
(C.1)
λ = √ h 2 + k 2 = √ 1 − l 2
Soit alors M ′ (X, Y, Z) ∈ Q dont la projection sur P est M(x, y, 0). On a :
O ′ M ′ = X⃗u ′ + Y ⃗v ′ + Z ⃗w ′
donc en projetant sur P :
(C.2)
(C.3)
OM = X( hl kl
⃗u + ⃗v − λ⃗w) + Y (−k
λ λ λ ⃗u + h ⃗v) + Z(h⃗u + k⃗v + l⃗w)
λ (C.4)
On regroupe les termes et on identifie les coordonnées (x, y) par exemple pour
Z=0 (on peut choisir Z quelconque du fait de l’hypothèse d’infinité des joints de
grains dans cette direction) :
⎧
⎪⎨ x = hl
λ X − k λ Y
(C.5)
⎪⎩ y = kl
λ X + h λ Y
soit en inversant le système (on suppose l ≠ 0 resp. λ ≠ 0 i.e. les plans ne sont
ni parallèles resp ni perpendiculaires, car sinon S = S ⊥ resp. S = 0) :
⎧
hx + ky ⎪⎨ X = (C.6)
λl
hy − kx ⎪⎩ Y =
λ
A partir des relations du système C.6, on peut calculer la surface S en fonction
de S ⊥ ainsi que la distance entre deux points A ′ et B ′ de Q en fonction des
coordonnées de leur projeté sur P : A(x A , y A ) et B(x B , y B ).
S se calcule par une double intégration sur X et Y; par définition :
∫∫
S = dX dY
(C.7)
(X,Y,0)∈S
On effectue un changement de variable entre (X,Y) et (x,y) avec J le Jacobien de
la matrice de passage : ∫∫
S = |J| dxdy
(C.8)
(x,y)∈S ⊥