Identification des mécanismes de fissuration dans un alliage d ...

222 Calculs de cristallographie
Cette formule présente l’avantage de ne faire intervenir que les coordonnées
des 3 vecteurs unitaires normaux aux plans considérés, qui sont exactement les
coordonnées dont on dispose dans l’analyse de la cristallographie. C’est une généralisation
à 3D de l’expression de l’angle de twist entre deux plans quelconques.
C.4 Calcul du facteur de Schmid
Étant donné un grain avec une orientation cristallographique définie par ses
angles d’Euler (φ 1 , Φ, φ 2 ) (cf. fig. 2.2), on calcule le facteur de Schmid d’un plan
j du cristal par rapport à la direction de chargement ⃗u z par :
∣
FS j = max ∣( N ⃗ j .⃗u z ) × ( D ⃗ i .⃗u z ) ∣ = N j z.D i z (C.21)
i=1,3
où N j est un des 4 plans de glissement du grain, et D i une des trois directions
de glissement du plan N j . N j et D i sont exprimés dans le repère de l’échantillon.
On peut facilement passer du repère du cristal (où on exprime N j et D i avec les
indices de Miller) au repère de l’échantillon par la matrice d’orientation notée B :
{ ⃗Nj = B.⃗n j pour j=1,4
⃗D i = B. ⃗ d i
pour i=1,3
(C.22)
(C.23)
La matrice d’orientation B est par définition, la matrice de passage du repère de
l’échantillon vers le repère du cristal. Elle s’exprime uniquement en fonction des
angles d’Euler :
⎛ ⎞
b 11 b 12 b 13
B = ⎝b 21 b 22 b 23
⎠
(C.24)
b 31 b 32 b 33
avec :
b 11 = cos(φ 1 ). cos(φ 2 ) − sin(φ 1 ). sin(φ 2 ). cos(Φ)
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
b 12 = − sin(φ 1 ). cos(φ 2 ) − cos(φ 1 ). sin(φ 2 ). cos(Φ)
b 13 = sin(φ 2 ). sin(Φ)
b 21 = cos(φ 1 ). sin(φ 2 ) + sin(φ 1 ). cos(φ 2 ). cos(Φ)
b 22 = − sin(φ 1 ). sin(φ 2 ) + cos(φ 1 ). cos(φ 2 ). cos(Φ)
b 23 = − cos(φ 2 ). sin(Φ)
b 31 = sin(φ 1 ). sin(Φ)
b 32 = cos(φ 1 ). sin(Φ)
b 33 = cos Φ