Identification des mécanismes de fissuration dans un alliage d ...

C.3 Calcul de l’angle de twist entre deux plans quelconques de l’espace 221
z
plan de joint J
Q
twist
x
Q’
Fig. C.3: Définition de l’angle twist entre deux plans quelconques de l’epace
par rapport à un plan de joint vertical.
y
Le système admet une infinité de solutions (c’est une droite) pourvu que le déterminant
(ηb − aζ) soit non nul i.e. si les plans Q et Q’ ne sont pas parallèles.
On le résout par exemple avec les formules de Cramer :
⎧
⎪⎨ x =
ζcz
(C.17)
=⇒
ηb − ζa
⎪⎩ y = −
ηcz
ηb − ζa
On a de même pour Q’ et par exemple pour z = ηb − ζa :
⎧
⎪⎨ x = ζc x ′ = ζc ′
(C.18)
y = −ηc y ′ = −ηc ′
⎪⎩
z = ηb − ζa z ′ = ηb ′ − ζa ′
Par définition, l’angle de twist α est l’angle entre les deux droites définies par le
système C.18. Si ⃗u et ⃗u ′ désignent deux vecteurs directeurs des droites d’intersection
respectives de Q et Q’ avec J alors on a :
⃗u.⃗u ′ = ||⃗u|| ||⃗u ′ || × cos(α)
(C.19)
Avec pour ⃗u et ⃗u ′ les vecteurs trouvés en (C.18) par exemple, on a l’expression
de l’angle de twist :
cos(α) =
cc ′ + η 2 bb ′ + ζ 2 aa ′ − ηζ(a ′ b + ab ′ )
[c 2 + η 2 b 2 + ζ 2 a 2 − 2ηζab] 1/2 . [c ′2 + η 2 b ′2 + ζ 2 a ′2 − 2ηζa ′ b ′ ] 1/2 (C.20)