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6. EXERCICES 996 Exercices6.1 Exercices avec corrigésExercice 6.1.1. 3On sait que les conditions habituelles d’élevage de bovins conduisent à un poids moyen à un âge donné de 300kg avec un écart type de 24 kg. On suppose que le poids suit une loi normale. On envisage un nouveau régime eton désire savoir si ce régime est meilleur que l’ancien. Pour cela on teste ce régime sur 64 animaux. On supposeque ni la loi de la variable aléatoire, ni sa variance σ 2 ne sont modifiées par le nouveau régime.(i) Définissez les variables aléatoires X 0 ”poids ancien régime” et X ”poids nouveau régime”.(ii) On suppose que les populations étudiées sont de très grandes tailles et on peut donc considérer le 64-échantillonBernoullienY = (Y 1 , . . . , Y n ) : P 64 −→ R 64b = (b 1 , . . . , b 64 ) ↦−→ Y (b) = (X(b 1 ), . . . , X(b 64 )).On considère la statistique MM : R 64 −→ R(y 1 , . . . , y 64 ) ↦−→ ȳ = 1 64et on définit Ȳ = M(Y ). Quelle loi suit la variable aléatoire Ȳ .(iii) Quel test peut-on effectuer ? On précisera :– l’hypothèse nulle H 0 .– s’il s’agit d’un test unilatéral ou bilatéral, on précisera l’hypothèse alternative H 1 .(iv) On prend comme risque de première espèce α = 0, 05.(a) Donner la règle de décision du test.(b) Calculer la puissance de ce test en fonction de la vraie valeur de la moyenne µ pourµ = 280; 290; 295; 297.5; 300; 302.5; 305; 307.5; 310; 320 et tracer cette fonction.(c) Quelle information vous donne la puissance si la vraie valeur de µ est 307.5 ?correction.(i) On considère P (respectivement P 0 ) la population des bovins nourris avec le nouveau régime (respectivementavec l’ancien régime). Les variables aléatoires X et X 0 sont alorsX : P −→ R64∑i=11 bovin ↦−→ son poidsX 0 : P 0 −→ R1 bovin ↦−→ son poids(ii) Ȳ suit une loi normale N (µ, 242 /64), où µ est l’espérance mathématique de X.(iii) – H 0 : µ = 300 ;– H 1 : µ > 300.Le test est unilatéral à droite car on désire savoir si le nouveau régime est meilleur que l’ancien.(iv) (a)α = P H0 (rejeter H 0 )y i .= P H0 (Ȳ (Ȳ > Ȳcrit))− 300= P H0 > Ȳcrit − 30033(Ȳ ) − 300⇒φ= 1 − α = 0.953− 300⇒Ȳcrit = 1.6453⇒Ȳcrit = 304.9353 Données provenant du cours de biométrie de l’INAPG de R. Tomassone, juillet 1986, chapitre 5 page 36.